素朴に「モノの集まり」のことを集合と定義する素朴集合論では様々な形で矛盾が引き起こされることが知られていて，なかでもラッセルのパラドックスとカントールのパラドックスと呼ばれるものが有名である．この2つのパラドックスは似ている面もあって，たま…

コインを1万回投げて表がちょうど5千回出る確率はどのくらいになるでしょうか？まずはだいたいの感覚で考えてみてください．この確率は となります．WolframAlpha に聞いてみましょう．N[binom(10000,5000)/2^10000,10] - Wolfram|Alpha答えは で 弱です．予…

複素数値関数 を複素数値関数と呼ぶ．複素数値関数 は実関数 を用いて と書ける．この微分と不定積分を \begin{gather} f'(x)=u'(x)+iv'(x)\\ \int f(x) dx=\int u(x) dx+i \int v(x) dx \end{gather}で定める．積分定数はまとめて１つの複素数で書ける．例…

今回は有名なゼノンの運動のパラドックスと呼ばれるものに関して考えてみます．ざっくり言うと「地点Aから離れた地点Bへの運動は，無限個の中間点を経由しければならないので存在しない」というようなことを言っています．「二分法」「アキレスと亀」「飛ん…

与作が木を切っても切らなくても今回は整閉包のお話です．ネター整域が整閉整域であるかを判定する Grauert-Remmert の定理というものがあり，これは整閉包を計算する上でも主要な働きをする面白い定理なのですが，証明が載っている教科書をあまり見かけませ…

計算機で計算してみると となり，整数部分が で，小数第1位から が 個連続しているので「ほぼ 」ですが，よく見ると が連続している部分がその後にも出てきます．しかも連続する の長さも と ずつ短くなっています．\begin{align} \cfrac{987654321}{1234567…

タイトルが長い． を「偶数次元」で「向き付け可能」で「連結」な閉多様体（=コンパクトで境界のない多様体）とする． とおくと， の 係数の偶数次コホモロジー環 \begin{align} H^{ev}(X;\mathbb{Q}):= \bigoplus_{k=0}^{d} H^{2k}(X;\mathbb{Q}) \end{alig…

可換環論でのニュートン法が「2次収束」することの証明をちゃんと書いておく．可換環 の可逆元全体を で表す．可換環とそのイデアル に対し の剰余環 での像を と書く． に対し ならば ． 証明． とすると， である． とおくと，\begin{align}(x+I^n)(z+I^n)…

高橋-森理論など，複素解析を用いて数値積分誤差を行う話があります．今回は比較的わかりやすい例として，周期関数の1周期積分の区分求積法は区間の分割数を増やすにしたがって非常に早く（指数オーダーで）収束することを紹介します． 周期関数の1周期積分 …

羽以上の鳩を 個の巣箱に入れると，少なくとも１つの巣箱に2羽以上の鳩が入るというのが鳩の巣原理と呼ばれるものです．ほとんど当たり前と思えるものですが，これを使った面白い証明がいろいろと知られています．鳩の巣原理を使える形に問題を言い換える技…

今日は 関数というものの定義を紹介し，さらに の 関数を手計算で求めてみます． は擬斉次孤立特異点多項式と呼ばれるクラスに属する多項式で， 関数は簡単に計算できることが知られています．詳しく知りたい人は次の本の第6章などを参照してください．www.i…

正整数 の最大公約数（the greatest common divisor）を で表します． の計算方法として，ユークリッドの互除法がよく知られています． ja.wikipedia.org に対しては，\begin{align}am+bn=\mathrm{gcd}(m,n)\end{align}となる整数 が存在します（上記Wikiped…

2年前、史上初めてブラックホールが撮影されたというニュースがありました。 www.itmedia.co.jp 観測したブラックホールはおとめ座銀河団の楕円銀河M87の中心に位置する巨大ブラックホール。地球から約5500万光年の彼方（かなた）にあり、質量は太陽の約65億…

Quantifier Elimination (QE，限量子消去) を解いてくれるREDUCEのパッケージRedlogを使って大学の入試問題を解いてみます．東工大 1969前期 実数 が次の次の4条件を満たしている： このとき の符号を調べよ．名古屋大 1963前期 正方形とその内部の点がある…

前回の記事で や はずっと のままなのに，大きな で突然 でなくなるという「突然の裏切り」が起こることを紹介しました． n⁵+5 と (n+1)⁵+5 の最大公約数 - 現実と数学の区別が付かない 他にも探してみると似た性質を持つ多項式がいくつか見つかります．それ…

Twitterで見かけた答えが意外過ぎる問題．多項式の公約数と言えば、昔どこかに投稿したんだけど、nが自然数の時の n^5+5 と (n+1)^5+5 の正の公約数としてあり得る整数が、おそらく見た目からは予想できない結果で、面白い。— nishimura (@icqk3) 2020年8月1…

今日考える問題はこちら． 3桁の自然数 で を満たすものを全て決定せよ．元ネタ↓ www.watto.nagoya を について解くと なのでこれが自然数となる を調べればいいのですが， 通りもあるのでもう少し工夫してみましょう．まず， の場合， となり， なので とな…

今日の目的は次の定理を証明することです． を実対称行列とし，2つの2次形式 \begin{align} \boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x},~~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}\end{align} で は正定値であるものを考える．束縛条件 のもとでの の…

最近ネタがないのでネットで見かけた問題をひとつ．「正則列で生成されるイデアルの extended Rees algebra の定義イデアルは自明な関係式で生成されることを簡単に示せないか」という疑問を先日 twitter で見かけました．これは一見当たり前のような気がす…

最近話題になったこの記事。 qiita.comこの記事は主に次の事実を扱ったものです。有向グラフの辺の重みを並べた行列のトロピカルな 乗の第 -成分は， 番目の頂点から 番目の頂点への道のうち，最小の重みを持つものの重みに等しいという話です。ここで，トロ…

陸上のサニブラウン選手が全米大学陸上選手権男子100メートル決勝で9秒97の日本記録を出しました。準決勝ではより速い9秒96でしたが，こちらは追い風メートルの参考記録でした。 www.nikkansports.com 短距離走では追い風が記録に有利に働くため，追い風の平…

この記事は、日曜数学アドベントカレンダーの2日目の記事です。 adventar.org 1日目はtsujimotterさんの「パスカルの三角形にたくさん出てくる数: 3003」でした。3003はパスカルの三角形に何回出てくるのでしょうか？追記された部分も面白いのでまだ読んでい…

今日はネットで見かけた次の問題をグレブナー基底を使って力技で解いてみます。 は の元として既約である。 www1.ezbbs.netちなみに のグラフを描くと♡になります。 今回採用するのは因数分解の可能性を未定係数法でしらみつぶしに調べるというエレガントな…

今日紹介するのは離散フーリエ変換は中国剰余定理としても理解できるというお話です。この見方をすると，合成積が離散フーリエ変換で積に化ける理由がよく分かります。 離散フーリエ変換 を正整数とし， を の原始乗根をします。長さ の複素数列 に \begin{a…

を体とし，正整数で定まる の部分環 ，または の部分環 を数値的半群と呼びます。MathPower にも出ていた可換環論botこと龍孫江さんの今日の記事で次の定理が示されていました。定理 のあらゆるイデアルは，高々２個の要素で生成される. blog.livedoor.jp こ…

この記事は留数定理については学習済みであることを前提にしています。今日はリーマン・ゼータ関数\begin{align}\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^s}\end{align}の が正の偶数のときの値 を留数定理を使って計算します。 はベルヌーイ数…

今日は有名なラッセルのパラドックスが起きるメカニズムを考えてみます。ラッセルのパラドックスは数学の基礎である集合論に対する重要な問題提起となったものですが，ラッセルのパラドックスが起きるメカニズム自体には集合論は関係ないというお話です。 ラ…

jurupapaさんのブログで面白そうなシリーズが始まりました。可解な代数方程式を冪根で解く計算を数式処理システムMaxima上で行うというものです。 maxima.hatenablog.jp ガロワ理論が生まれた経緯を考えると，究極と言ってもいいくらいのテーマだと思います…

今日は変数変換を用いた微分方程式の解法の謎に迫りたいと思います。この記事は微分方程式の初歩である，変数分離形の微分方程式と１階線形微分方程式の解法を知っている方を対象としています*1。 を自由変数， を未知関数とします。 まずは微分方程式をいく…

に対し，ヘンゼルの補題で の根 が の根に持ち上がるための条件に というものがありました。egory-cat.hatenablog.comこの条件は外すことができません。例として の場合を考えてみましょう。 は 重根 を持ちますが， は既約なので に根は持ちません。では と…