幾何学にも初等幾何学，微分幾何学，代数幾何学などなど，いろいろな種類があります。それらは「どういう図形（多様体）を扱うか」と「どういう図形を『同じもの』と捉えるか」の2点によって区別されます。今回の記事は位相幾何学と呼ばれる幾何学に関するクイズです。位相幾何学はおおざっぱに言うと，図形が伸縮自在で柔らかいゴムのような素材でできていて，変形して同じになる図形は同じものと捉える幾何学です。位相幾何学ではこの「同じものと捉える」というのを「同相である」といいます*1。「コーヒーカップとドーナツは同相だ」といった感じです。記号は を使います。
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今回は図形の中でも曲面，特に閉曲面と呼ばれるものを考えます。閉曲面とは，ひとつながりで境界が無く，ユークリッド空間の中で有界（無限に広がってない）で，自己交差のない曲面のことです。円板は曲面ですが，円周という境界があるので閉曲面ではありません。ユークリッド平面 は境界はありませんが，有界でないので閉曲面ではありません。
閉曲面の中でも特に大事なものに， 種数 のトーラス と呼ばれるものがあります。種数
のトーラスをいくつか絵にかいてみましょう。
１つ目は球面ですね。２つ目のドーナツ型の曲面はトーラスと呼ばれています。３つ目は種数２のトーラスです。トーラスを 個合体させて（数学的には連結和といいます）できた
人乗りの浮き輪と同相な曲面を，種数
のトーラスと呼びます。便宜上，球面のことを種数０のトーラスと呼びます。
3次元のユークリッド空間に埋め込める閉曲面は，ある種数 のトーラスと同相になることが知られています。
http://www.math.okayama-u.ac.jp/~kazu/classes/2016/TopologyII/text.pdf
さて，実際に３次元ユークリッド空間に埋め込まれた閉曲面の種数を求めてみましょう。それが今回の問題です。
例題：次の曲面の種数をそれぞれ求めよ。
例題の答え
まあこれは簡単ですね。立方体は球面に，縦に穴が１つ空いた立方体はトーラスと同相になります。よって答えは 0 と 1 です。
さて本番はここからです。
問題1：この曲面の種数を求めよ。
問題2：この曲面の種数を求めよ。
ちょっと見にくいかもしれませんが，外側の立方体の部分の面を取り払うと↓になります。
正解は後ほど。
*1:もちろんこれは数学的に正確な定義ではありません。この説明だと連続的に変形したものを同じものと捉える「ホモトピー同値」と混同しそうです。円板は1点に連続的に変形できますが，円板と1点は同相ではありません（ホモトピー同値ではある）。このように「潰す」という操作は同相ではありません。他に同相でないような操作に「切る」があります。しかし，ある図形を切って，その図形を同相なものに変形し，その後で切ったところを元と同じようにくっつけたものは，最初の図形と同相になります。例えば，帯状の輪っかを切って一枚の帯にして，それを360度ひねってから切ったところを元と同じようにくっつけた図形は，元の帯状の輪っかと同相です（180度だけひねった場合はメビウスの輪と呼ばれる図形になって，帯状の輪っかと同相ではなくなります）。この2つの図形は片方からもう片方へ，連続的に変化させることが出来ないように思えます。しかしそう思えるのは図形の「入れ物の空間 」を固定して考えているからです。同相をもうちょっとだけ正確に定義すると，「2つの図形に対し，点が1対1に対応していて，その対応付けで『点同士の繋がり方』も同じとき同相という」となります。この『点同士の繋がり方』を数学的にちゃんと定義したものが「位相」と呼ばれるものです。この「同相」の定義には，図形がどの空間に入っているかという情報は含まれていません。同相かどうかを考えるときは，「入れのもの空間」を固定する必要がない，もっと言うと，「入れ物の空間」そのものが必要ありません。もちろん「入れ物の空間」を一つ固定して，その中の図形を調べるという幾何学もあります。「結び目理論」は
内にある，円周
と同相な図形を調べる分野です。結び目理論は「
の
への埋め込み方」を図形として扱い，「ホモトピー同値」なのもは同じと捉える，という幾何学です。
