留数定理とリーマン・ゼータ関数 - 現実と数学の区別が付かない

この記事は留数定理については学習済みであることを前提にしています。

今日はリーマン・ゼータ関数\begin{align}\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^s}\end{align}の $s$ が正の偶数のときの値 $\zeta(2k)$ を留数定理を使って計算します。

$\zeta(2k)$ はベルヌーイ数というものを使って表すことができるのですが，留数定理を用いることによって，なぜベルヌーイ数が出てくるのか，その理由もはっきりします。

留数定理

留数定理を復習しておきましょう。 $f(z)$ が $z=c$ でのローラン展開 \begin{align}\displaystyle f(z)=\sum_{n=-N}^\infty a_n (z-c)^n\end{align}を持つとき， $\mathrm{Res}(f;c)=a_{-1}$ を $f(z)$ の $z=c$ における留数と呼びます。

留数定理
有界領域 $D$ 内の単純閉曲線 $C$ が囲む領域 $D'$ を考える。 $f(z)$ が $D'$ 内に孤立特異点 $c_1, c_2,\dots, c_m$ を持ち，それ以外の $D$ の点で正則であるならば\begin{align}\displaystyle \oint_C f(z) dz=2\pi i \sum_{j=1}^m \mathrm{Res}(f;c_j). \end{align}

ベルヌーイ数

ベルヌーイ数
$\cfrac{z}{e^z-1}$ は原点の近傍で正則で，そのテーラー展開 \begin{align}\cfrac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty \cfrac{B_n}{n!}z^n\end{align}で定まる $B_n$ をベルヌーイ数と呼ぶ。

$B_n=\cfrac{d^n}{dz^n} \cfrac{z}{e^z-1} \bigg|_{z=0}$ であり， $B_n$ は有理数となります。また， $B_n$ は $n$ が $3$ 以上の奇数のとき $0$ になることが知られています。

$\zeta(2k)$ の値

ベルヌーイ数を用いて，ゼータ関数 $\zeta(s)$ の正の偶数での値を表すことができます。

定理 (オイラー 1748)
$k$ を正整数とする。
\begin{align}\zeta(2k)=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{ ( - 1 )^{k - 1 } (2\pi)^{2k} B_{2k} }{(2k)!}\end{align}

証明
$f(z)=\cfrac{z}{e^z-1}$ とし，\begin{align}g(z)=\cfrac{f(2\pi i z)}{z^{2k+1}}=\cfrac{2\pi i}{z^{2k}}\cdot\cfrac{1}{e^{2\pi i z}-1}\end{align}とおく。 $N$ を正整数とし， $\Gamma_N$ を図のような，1辺が $2N+1$ である正方形の積分経路とする。

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$g(z)$ の $\Gamma_N$ に囲まれる領域における特異点は $-N\le n \le N$ となる整数 $n$ で， $0$ は位数 $2k+1$ の極で， $n\neq 0$ は位数 $1$ の極になっている。 $z=0$ における留数は，\begin{align}g(z)=\cfrac{1}{z^{2k+1}} \sum_{n=0}^\infty \cfrac{B_n}{n!}(2\pi i z)^n=\sum_{n=0}^\infty \cfrac{(2\pi i)^nB_n}{n!}z^{n-2k-1}\end{align}なので，\begin{align}\mathrm{Res}(g(z); 0) = \cfrac{(2\pi i)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}=\cfrac{(-1)^k(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} \end{align}となる。また，その他の留数は $n>0$ とすると
\begin{eqnarray*}
\mathrm{Res}(g(z); n) &=& \lim_{z\to n} g(z)(z-n)=\lim_{z\to n} \cfrac{2\pi i}{z^{2k}}\cdot\cfrac{z-n}{e^{2\pi i z}-1}=\cfrac{2\pi i}{(n^{2k})}
\left( \cfrac{d e^{2\pi i z}}{dz}\bigg|_{z=n}\right)^{-1}=\cfrac{1}{n^{2k}}\\
\mathrm{Res}(g(z); -n) &=& \lim_{z\to -n} g(z)(z+n)=\lim_{z\to -n} \cfrac{2\pi i}{z^{2k}}\cdot\cfrac{z+n}{e^{2\pi i z}-1}=\cfrac{2\pi i}{(n^{2k})}
\left( \cfrac{d e^{2\pi i z}}{dz}\bigg|_{z=-n}\right)^{-1}=\cfrac{1}{n^{2k}}\\
\end{eqnarray*}となる。よって留数定理より\begin{align}\cfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_N} g(z)dz=\sum_{n=-N}^N \mathrm{Res}(g;n) =\cfrac{(-1)^k(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}+2\sum_{n=1}^N \cfrac{1}{n^{2k}}\end{align}となる。

ここで $\displaystyle \lim_{N\to \infty}\cfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_N} g(z)dz=0$ が示されれば，上式で $N\to \infty$ として目的の等式 \begin{align}\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^{2k}}=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{( - 1 )^{k - 1 } (2\pi)^{2k}B_{2k} }{(2k)!}\end{align}が得られる。

以下で $\displaystyle \lim_{N\to \infty}\cfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_N} g(z)dz=0$ を示す。

$\bullet~\Gamma_N$ 上の点 $z=\pm(N+1/2)+yi$ に対し，\begin{align}|g(z)|=\cfrac{2\pi}{|z|^{2k}}\cdot\cfrac{1}{|e^{-2\pi y\pm(N+1/2)\cdot 2\pi i }-1|}
=\cfrac{2\pi}{|z|^{2k}}\cdot\cfrac{1}{e^{-2\pi y}+1}< \cfrac{2\pi}{N^{2k}}\end{align} $\bullet~\Gamma_N$ 上の点 $z=x+(N+1/2)i$ に対し，\begin{align}|g(z)|=\cfrac{2\pi}{|z|^{2k}}\cdot\cfrac{1}{|e^{-2\pi(N+1/2) + 2\pi i x }-1|}<\cfrac{2\pi}{N^{2k}} \cdot\cfrac{1}{1 - e^{ - 2\pi(N+1/2)}} \le \cfrac{2\pi}{N^{2k}} \cdot\cfrac{1}{1 - e^{ - \pi}}\end{align} $\bullet~\Gamma_N$ 上の点 $z=x-(N+1/2)i$ に対し，\begin{align}|g(z)|=\cfrac{2\pi}{|z|^{2k}}\cdot\cfrac{1}{|e^{2\pi(N+1/2) + 2\pi i x }-1|}
\cfrac{2\pi}{N^{2k}} \cdot\cfrac{1}{e^{2\pi(N+1/2)-1}} \le \cfrac{2\pi}{N^{2k}} \cdot\cfrac{1}{e^{\pi}-1} \end{align}以上より， $N$ に依存しないある定数 $M$ を用いて， $\Gamma_N$ 上で $|g(z)|<\cfrac{M}{N^{2k}}$ と上から評価できる。よって \begin{align}\left| \cfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_N} g(z)dz\right| \le \cfrac{1}{2\pi}\cdot |g(z)|\cdot \mathrm{length} (\Gamma_N) <\cfrac{ 4M(2N+1)}{2\pi N^{2k}}\to 0 ~(N\to\infty)\end{align}となるので $\displaystyle \lim_{N\to \infty}\cfrac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_N} g(z)dz=0$ である。

証明終

他にもいろいろな証明方法があるようですが，ベルヌーイ数が出てくる理由が分かりやすいので，お気に入りの証明です。