2020-08-13

n⁵+5 と (n+1)⁵+5 の最大公約数

数学

Twitterで見かけた答えが意外過ぎる問題．

多項式の公約数と言えば、昔どこかに投稿したんだけど、nが自然数の時の n^5+5 と (n+1)^5+5 の正の公約数としてあり得る整数が、おそらく見た目からは予想できない結果で、面白い。
— nishimura (@icqk3) 2020年8月10日

自然数 $a,b$ の最大公約数 (greatest common divisor) を $\mathrm{gcd}(a,b)$ で表します．

$n$ を自然数とする． $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ を求めよ．

この手の問題は，小さい $n$ で試してみるのが常套手段です． $n\le 100$ くらいまで試してみると，すべて $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)=1$ となります．その後， $n$ を 1万，10万と増やしていっても，ずっと gcd は $1$ のままです．こうなると，はいはいパターン見えてきたよと $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)=1$ であると予想を立て，数学的帰納法で証明しようという気になります．しかしこれはうまくいきません．実は $n<533360$ のときは $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)=1$ なのに， $n=533360$ で急に\begin{align}\mathrm{gcd}(533360^5+5,533361^5+5)= 1968751\end{align}となります．こんなことが起こることも面白いですし，これに気が付いたことも凄いと思います．この $n$ が約53万でフリーザの戦闘力とほぼ同じなことも芸術点が高いです．

Why Japanese people?

なぜこのようなことが起こるのか考えてみましょう．

$a_1,\dots,a_k \in \mathbb{Z}$ で生成される $\mathbb{Z}$ のイデアルを $\langle a_1,\dots,a_k \rangle$ で表すことにします．すると次が成り立ちます．

\begin{align}\langle a, b\rangle=\langle \mathrm{gcd}(a,b)\rangle\end{align}

最大公約数をこの等式で理解することは結構大切です．例えばユークリッドの互除法はイデアルの生成系の取り換えをしているだけと見ることがでいます．また， $\langle a, b\rangle$ の要素は $\mathrm{gcd}(a,b)$ の倍数になっているので，具体的な整数 $m\in \langle a, b\rangle$ を $1$ つ見つけることができると， $\mathrm{gcd}(a,b)$ の候補が有限個に絞られます．

$\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ がどうなるか考えていきましょう．
\begin{align}
f_0(n):=&~(n+1)^5+5\\
f_1(n):=&~n^5+5\\
f_2(n):=&~f_0(n)-f_1(n)=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1\\
f_3(n):=&~5f_1(n)-(n-2)f_2(n)=10n^3+15n^2+9n+27\\
f_4(n):=&~4f_2(n)-(2n+1)f_3(n)=7n^2-43n-23\\
f_5(n):=&~49f_3(n)-(70n+535)f_4(n)=25056n+13628\\
f_6(n):=&~156950784 f_4(n)-(43848n-293201)f_5(n)=385875196
\end{align} なので， $385875196\in \langle n^5+5,(n+1)^5+5\rangle$ となります．ちょっと注意をしておくと，この計算はユークリッドの互除法そのものではありませんので，最後に出てきた $385875196$ は最大公約数とは限りません．しかし，定義から $k\ge 2$ のとき $f_k(n) \in \langle f_{k-1}(n), f_{k-2}(n) \rangle$ であるので，\begin{align} 385875196&=f_6(n)\in \langle f_{5}(n), f_{4}(n) \rangle \subset\langle f_{4}(n), f_{3}(n) \rangle \subset\langle f_{3}(n), f_{2}(n) \rangle \\
& \subset\langle f_{2}(n), f_{1}(n) \rangle \subset\langle f_{1}(n), f_{0}(n) \rangle = \langle n^5+5,(n+1)^5+5\rangle \end{align} が言えるのです．

つまり $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ は $385875196$ の約数です． $385875196$ を素因数分解してみると\begin{align}
385875196=2^2\times 7^2\times 1968751
\end{align}となります．

素因数 $p=2,7,1968751$ ごとに， $p$ が $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ を割り切るかどうか考えてみます．

$p$ が $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ を割り切ることは $x^5+5\in \mathbb{F}_p[x]$ が $n, n+1$ の両方を根に持つことと同値です．

$p=2$ のとき．

$x^5+5=x^5+1 \in \mathbb{F}_2[x]$ は $x=1$ しか根を持ちません．
よって $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ は $2$ で割り切れません．

$p=7$ のとき．

$x^5+5 \in \mathbb{F}_7[x]$ は $x=4$ しか根を持ちません．
よって $\mathrm{gcd}(n^5+5,(n+1)^5+5)$ は $7$ で割り切れません．

$p=1968751$ のとき．

\begin{align} x^5+5=(x-1066696)(x-1707583)(x-96502)(x-533360)(x-533361) \end{align} という因数分解が $\mathbb{F}_{1968751}[x]$ で成り立ちます．つまり $n^5+5$ は \begin{align} n\equiv 1066696, 1707583, 96502, 533360, 533361 \mod 1968751\end{align} のときに $1968751$ の倍数となります． $n^5+5, (n+1)^5+5$ が共に $1968751$ の倍数となるのは $n\equiv 533360 \mod 1968751$ のときのみです．

よって，冒頭の問題の答えは \begin{align} \mathrm{gcd}(n^5+5, (n+1)^5+5)= \begin{cases}
1968751 & (n\equiv 533360 \mod 1968751)\\
1 & (\mbox{otherwise})
\end{cases}\end{align} となります．

以上．

追記

世の中には整数係数グレブナー基底という超便利な道具があり，Sage などに実装されているそうです．
doc.sagemath.org
$\langle x^5+5,(x+1)^5+5\rangle \subset \mathbb{Z}[x]$ の整数係数グレブナー基底を計算すると $\{x + 1435391, 1968751\}$ となります（下記リンクで計算結果を見ることができます）．
sagecell.sagemath.org
これは $\mathbb{Z}[x]$ のイデアルとして \begin{align}\langle x^5+5,(x+1)^5+5\rangle =\langle x + 1435391, 1968751 \rangle\end{align} であることを示しています．このことから，自然数 $n$ に対して \begin{align} \mathrm{gcd}(n^5+5, (n+1)^5+5)=\mathrm{gcd}(n + 1435391, 1968751) \end{align} が成り立つことが分かります． $1968751$ が素数であることも計算機で確かめることができるので， $\mathrm{gcd}(n^5+5, (n+1)^5+5)$ は $1$ まはた $1968751$ であり， $\mathrm{gcd}(n^5+5, (n+1)^5+5)=1968751$ となるのは \begin{align} n\equiv - 1435391 \equiv 533360 \mod 1968751\end{align} のときということが分かります．

$x^{17}+9, (x+1)^{17}+9$ でも類似の現象が起こるそうです．
sagecell.sagemath.org
このグレブナー基底の計算によると \begin{align} &\langle x^{17}+9, (x+1)^{17}+9\rangle \\
&= \left\langle\begin{array}{r} x + 512149312322827330662764931050044963334032796143126, \\
8936582237915716659950962253358945635793453256935559~ \end{array} \right\rangle\end{align}が成り立ちます．この2番目の生成元である自然数が素数になっています．

さらに追記

くさだんごさんが記事を書いてくれました．
mochi-mochi61.hatenablog.com
イデアル $I=\langle f(x), g(x) \rangle \subset \mathbb{Z}[x]$ に対して， $I\cap \mathbb{Z}$ に含まれる元を得るために終結式を使っています．
終結式 - Wikipedia
私の記事ではなんちゃってユークリッドの互除法を使いましたが，余計な素因数 $2,7$ が出ていました．終結式を使う方法では余分な因子が出ません．

2020-07-17

整数点は難しい

今日考える問題はこちら．

3桁の自然数 $100x+10y+z$ で $x(10y+z)=(10x+y)z$ を満たすものを全て決定せよ．

元ネタ↓
www.watto.nagoya

$x(10y+z)=(10x+y)z$ を $z$ について解くと $z=\cfrac{10xy}{9x+y}$ なのでこれが自然数となる $x=1,\cdots,9,~ y=0,\cdots,9$ を調べればいいのですが， $90$ 通りもあるのでもう少し工夫してみましょう．

まず， $y=0$ の場合， $xz=0$ となり， $x\neq 0$ なので $z=0$ となります．また， $y=z\neq 0$ の場合， $11xy=(10x+y)y$ より $x=y$ となり，ゾロ目の場合 $x=y=z$ が出てきます．
つまり， $100, \dots, 900, 111, \dots,999$ は条件を満たす3桁の数です．この自明な場合を除いた解を探してみましょう．

$x(10y+z)=(10x+y)z$ を $x$ について解くと $x=\cfrac{yz}{10y-9z}$ となります．これが自然数となるには，少なくとも $10y-9z\geq 1$ , $yz\ge 10y-9z$ でなければなりません．これだけでも候補をかなり絞ることができます．

$y,z$ が整数 $0\sim 9$ の範囲では $10y-9z\geq 1$ となるには $y\ge z$ でなければなりません ( $z\ge y+1$ なら $10y-9z\le 10y-9(y+1)=y-9\le 0$ となる.)
$yz\ge 10y-9z$ を変形すると， $z\ge \cfrac{10y}{9+y}$ となります． $y=0$ と $y=z$ の場合はもう考えたので， $y=1\sim 9,~y-1\ge z \ge \cfrac{10y}{9+y}$ の範囲で $x=\cfrac{yz}{10y-9z}$ が自然数となるものを探せばいいことになります．この範囲の $(y,z)$ は \begin{align}(5,4),(6,5),(6,4),(7,6),(7,5),(8,7),(8,6),(8,5),(9,8),(9,7),(9,6),(9,5)\end{align} の $12$ 個しかないので，この程度ならなんとか手計算の範囲でしょう．実際に計算してみると\begin{align}(x,y,z)=(1,6,4), (2,6,5),(1,9,5),(4,9,8) \end{align}が解であることが分かります．

以上より，冒頭の問題の答えは\begin{align}100, \dots, 900, 111, \dots,999,~164,~265,~195,~498\end{align}となります．

とりあえず答えは出せましたが，いまいちエレガントな感じがしません．もっとうまい方法はないでしょうか？

整数点のパラメータ表示は可能か？

ピタゴラス数の場合， $x^2+y^2=z^2$ を満たす整数点全体は \begin{align} x=n^2-m^2,y=2nm,z=n^2+m^2~~(n,m \in \mathbb{Z})\end{align}と書けました． $x(10y+z)=(10x+y)z$ についても同じようなパラメータ表示があれば，条件を満たす整数点を探すのに役に立ちそうです．

ですが $x(10y+z)=(10x+y)z$ を満たす整数点全体を多項式で表すのは難しそうです．例えば \begin{align} x=n(9n+m), y=m(9n+m), z=10nm~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{align} は $x(10y+z)=(10x+y)z$ を満たす整数点を与えますが，全ての整数点を尽くしていません．例えば $(1,9,5)$ が抜けています．整数点を与える別の系列を考えることもできます． \begin{align} x=n(n+m), y=9n(n-m), z=5(n^2-m^2)~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{align} は $(n,m)=(1,0)$ のとき $(x,y,z)=(1,9,5)$ ですが，今度は先ほどは表すことができた $(10,10,10)$ などが抜けています．また，どちらも $(2,6,5)$ を表すことができません．

最後に少し強めの予想を立てて終わりにします．

予想． $S=\{ (x,y,z)\in \mathbb{Z} \mid x(10y+z)=(10x+y)z\}$ とする．
どんな自然数 $r$ と $f_i(s,t),g_i(s,t),h_i(s,t)\in\mathbb{Z}[s,t],~1\le i\le r,$ に対しても \begin{align} S \neq \bigcup_{i=1}^r \bigl\{ \bigl(f_i(m,n),g_i(m,n),h_i(m,n)\bigr) \mid m,n\in\mathbb{Z}\bigr\} \end{align}

$f,g,h$ としては，変数の片方，または両方が出て来ないものを考えてもいいです．例えば， $f(s,t)=s, g(s,t)=s, h(s,t)=s$ とするとゾロ目を尽くすことができますし， $f(s,t)=2, g(s,t)=6, h(s,t)=5$ とすると1点 $(2,6,5)$ を表現できます．

この予想が正しい場合，集合 $S$ を陽に記述する何かうまい方法はあるでしょうか？逆にこの予想が間違っている場合，等号を成り立たせる最小の $r$ は何になるでしょうか？また，一般の2次斉次多項式 $F(x,y,z)\in \mathbb{Z}[x,y,z]$ の零点集合の整数点についてはどうなるでしょうか？

ここまでくると大学院生でも解けないかもしれません．

2019-11-02

2次形式から曲面の曲率まで

数学

今日の目的は次の定理を証明することです．

$A, B$ を実対称行列とし，2つの2次形式 \begin{align} \boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x},~~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}\end{align} で $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}$ は正定値であるものを考える．

束縛条件 $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ のもとでの $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}$ の最大値と最小値はそれぞれ $B^{-1}A$ の最大固有値と最小固有値である．

また， $\dfrac{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}}~~(\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0})$ の最大値と最小値もそれぞれ $B^{-1}A$ の最大固有値と最小固有値である．

この応用として，曲面のガウス曲率・平均曲率の公式を導出します．これら曲率の一応の定義はしますが細かい説明はしないので，定義の意味などはちゃんとした微分幾何の教科書を参考にして下さい．

対称行列と2次形式

第 $i$ 成分だけ $1$ で残りの要素は $0$ であるベクトルを $\boldsymbol{e}_i\in \mathbb{R}^n$ で表す．ベクトル $\boldsymbol{u},~\boldsymbol{v}\in \mathbb{R}^3$ の標準内積を $\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}$ で，外積を $\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{v}\in \mathbb{R}^3$ で表す．

対称行列

行列 $M$ の転置を $M^\mathsf{T}$ で表す． $n$ 次正方行列 $A$ が $A=A^\mathsf{T}$ を満たすとき，対称行列と呼ぶ． $n$ 次正方行列 $P$ が $P^\mathsf{T}= P^{-1}$ を満たすとき，直交行列と呼ぶ．実対称行列 $A$ の固有値は全て実数であり， $A$ は直交行列 $P$ で対角化できることが知られている;\begin{align}P^\mathsf{T}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\end{align}

2次形式

$\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_n)^\mathsf{T}$ を変数を要素とするベクトルとする． $\boldsymbol{x}$ に関する実係数の2次斉次多項式を2次形式と呼ぶ．2次形式はある実対称行列 $A$ により\begin{align} \boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}\end{align} と書ける．

$A$ が直交行列 $P$ で $P^\mathsf{T}AP=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ と対角化されているとき， $A=P~\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)P^\mathsf{T}$ なので， $\boldsymbol{y}=P^\mathsf{T}\boldsymbol{x} (\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y})$ と変数変換すると\begin{align}\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^\mathsf{T}P^\mathsf{T} A P\boldsymbol{y} =\boldsymbol{y}^\mathsf{T}\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \end{align} となる．

任意の $\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$ に対し $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}>0$ となるとき，2次形式 $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}$ は正定値であるという．これは $A$ の固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ が全て正であることと同値である．

2次形式の条件付極値

2つの2次形式 \begin{align} \boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x},~~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}\end{align} で $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}$ は正定値であるものを考える．

束縛条件 $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ のもとで $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}$ の最大値と最小値をラグランジュの未定乗数法を使って求める． $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}$ は正定値なので $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ を満たす $\boldsymbol{x}$ 全体はコンパクト集合で，最大値と最小値が存在することに注意する．

ラグランジュの未定乗数法 - Wikipedia

ラグランジュの未定乗数法
縛条件 $g(\boldsymbol{x})=0$ のもとで $f(\boldsymbol{x})$ の極値を与える $\boldsymbol{x}$ の値は，ある $\lambda$ に対する \begin{align} \mathrm{grad}f(\boldsymbol{x})=\lambda~ \mathrm{grad}g(\boldsymbol{x}),~g(\boldsymbol{x})=0\end{align} の解であるか， $g(\boldsymbol{x})=0$ の特異点，つまり \begin{align}\mathrm{grad}g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}, ~g(\boldsymbol{x})=0\end{align} の解であるかのいずれかである．

ここで $\mathrm{grad}f(\boldsymbol{x})=\left(\dfrac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1},\dots,\dfrac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\right)^\mathsf{T}$ は $f(\boldsymbol{x})$ の勾配である．

$\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ は非特異なので，束縛条件 $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ のもとで $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}$ の極値を与える $\boldsymbol{x}$ の値は，ある $\lambda$ に対する \begin{align} \mathrm{grad}(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x})=\lambda~ \mathrm{grad}(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}-1),~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1 \end{align} の解である．

$A$ は対称行列だったので \begin{align}\dfrac{\partial \left(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A\boldsymbol{x}\right)}{\partial x_i}=\boldsymbol{e}^\mathsf{T}_iA\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^\mathsf{T}A\boldsymbol{e}_i=2\left(\boldsymbol{e}^\mathsf{T}_iA\boldsymbol{x}\right)\end{align} より \begin{align}\mathrm{grad}\left(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A\boldsymbol{x}\right)
=2\left(\boldsymbol{e}^\mathsf{T}_1A\boldsymbol{x},\dots,\boldsymbol{e}^\mathsf{T}_nA\boldsymbol{x}\right)^\mathsf{T}=2A\boldsymbol{x}
\end{align} であり，同様に \begin{align}\mathrm{grad}(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}-1)=\mathrm{grad}(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x})=2B\boldsymbol{x}
\end{align} となる．よって $\mathrm{grad}(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x})=\lambda~ \mathrm{grad}(\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}-1),~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ は \begin{align} &A\boldsymbol{x}=\lambda B\boldsymbol{x}, ~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1\\
\Leftrightarrow~~ & B^{-1}A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}, ~\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1\end{align} と変形できる．これは $\lambda,~\boldsymbol{x}$ が $B^{-1}A$ の固有値とその固有ベクトルであることを表している．

また，この条件式が成り立っているとき，\begin{align}\boldsymbol{x}^\mathsf{T}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^\mathsf{T}(\lambda B)\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=\lambda \end{align} となる．

以上より次の定理を得る．

この定理の系として次が成り立つ．

$\dfrac{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}}~~(\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0})$ の最大値と最小値はそれぞれ $B^{-1}A$ の最大固有値と最小固有値である．

（証明） \begin{align}\left\{\dfrac{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}} ~\middle|~ \boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}\right\}=\left\{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1\right\}\end{align} が成り立つ．(左辺)⊃(右辺) は自明で，逆の包含は $k=\frac{1}{\sqrt{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}}}$ とすると $(k\boldsymbol{x})^\mathsf{T} B (k\boldsymbol{x})=1,~\dfrac{(k\boldsymbol{x})^\mathsf{T} A (k\boldsymbol{x})}{(k\boldsymbol{x})^\mathsf{T} B (k\boldsymbol{x})}=\dfrac{k^2\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}}{k^2 \boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}}=\dfrac{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}}$ となることから従う．
よって $\dfrac{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}}~~(\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0})$ の最大値と最小値はそれぞれ，束縛条件 $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} B \boldsymbol{x}=1$ のもとでの $\boldsymbol{x}^\mathsf{T} A \boldsymbol{x}$ の最大値と最小値と一致する．（証明終）

曲面のガウス曲率・平均曲率

簡単のため以降出てくる関数は $C^\infty$ 級とする．

曲面

$D$ を $uv$ -平面の領域とし，曲面 \begin{align} \boldsymbol{p}(u,v)=\left(\begin{array}{c} x(u,v)\\y(u,v)\\z(u,v) \end{array}\right),~~(u,v)\in D \end{align} を考える．

曲面の各点で接ベクトル $\boldsymbol{p}_u=\dfrac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial u},~\boldsymbol{p}_v= \dfrac{\partial \boldsymbol{p}}{\partial v}$ は1次独立であるとする．このとき，曲面の単位法線ベクトル $\boldsymbol{n}$ はベクトルの外積を用いて\begin{align}\boldsymbol{n}=\dfrac{\boldsymbol{p}_u\times \boldsymbol{p}_v}{\left|\boldsymbol{p}_u\times \boldsymbol{p}_v\right|}\end{align}で与えられる．

曲面上の曲線

$(u_0,v_0)\in D$ を固定し $(x_0,y_0,z_0)=\boldsymbol{p}(u_0,v_0)$ とする．
$\varepsilon>0$ とし， $t=0$ のときに $(u_0,v_0)$ を通る $uv$ -平面上の曲線 \begin{align} c(t)=\left(\begin{array}{c} u(t)\\v(t)\end{array}\right),~~-\varepsilon\le t \le \varepsilon, \end{align} と $\boldsymbol{p}$ を合成すると， $t=0$ のときに $(x_0,y_0,z_0)$ を通る空間曲線 \begin{align} (\boldsymbol{p}\circ c)(t)=\boldsymbol{p}(u(t),v(t))=\left(\begin{array}{c} x(u(t),v(t))\\y(u(t),v(t))\\z(u(t),v(t)) \end{array}\right) ,~~-\varepsilon \le t \le \varepsilon,\end{align} が得られる．これが非特異，すなわち任意の $-\varepsilon \le t \le\varepsilon$ に対し $\dfrac{d (\boldsymbol{p}\circ c)}{dt}(t)\neq 0$ となる $c(t)$ のみを考える．

時間パラメータ・弧長パラメータ

弧長関数 $s(t)$ を\begin{align}s(t)=\int_{0}^t \left|\dfrac{d(\boldsymbol{p}\circ c)(t)}{dt}\right|dt \end{align}で定義し， $\ell_1 =s(-\varepsilon), \ell_2=s(\varepsilon)$ とおく ( $t=0$ のとき $s=0$ となるように積分の始点を $0$ に設定した)．微分が正 $\dfrac{ds(t)}{dt}= \left|\dfrac{d(\boldsymbol{p}\circ c)(t)}{dt}\right|>0$ より弧長関数は狭義単調増加関数になるので，逆関数 $t(s),~\ell_1\le s\le \ell_2,$ を持つ．

$\gamma(s):=(\boldsymbol{p}\circ c \circ t)(s)$ を弧長パラメータ表示と呼び， $(\boldsymbol{p}\circ c)(t)$ を時間パラメータ表示と呼ぶことにする．これらは同一の空間曲線を異なるパラメータ付けで表したものになっている．

少ししつこく説明しておくと，時間パラメータ表示 $(\boldsymbol{p}\circ c)(t)$ に $t=t(s)$ を代入することで弧長パラメータ表示 $\gamma(s)=(\boldsymbol{p}\circ c \circ t)(s)$ が得られ，逆に弧長パラメータ表示 $\gamma(s)$ に $s=s(t)$ を代入することで，時間パラメータ表示 $(\gamma\circ s)(t)=(\boldsymbol{p}\circ c)(t)$ が得られる．

また，定義より $\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{ds(t)}{dt}= \left|\dfrac{d(\boldsymbol{p}\circ c)(t)}{dt}\right|$ であり，逆関数の微分の公式により $\dfrac{dt}{ds}=\dfrac{dt(s)}{ds}=\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^{-1}= \left|\dfrac{d(\boldsymbol{p}\circ c)(t)}{dt}\right|^{-1}$ である．

法曲率・ガウス曲率・平均曲率の定義

弧長パラメータ表示のときは「速さ」が \begin{align}\left|\dfrac{d\gamma(s)}{ds}\right|=\left|\dfrac{d(\boldsymbol{p}\circ c)(t)}{dt} \cdot \dfrac{dt}{ds}\right|=\left|\dfrac{ds}{dt}\cdot \dfrac{dt}{ds} \right|=1\end{align} で一定である．\begin{align}\dfrac{d\gamma(s)}{ds}\cdot \dfrac{d\gamma(s)}{ds}=\left|\dfrac{d\gamma(s)}{ds}\right|^2=1\end{align} なので両辺 $s$ で微分することで $\dfrac{d\gamma(s)}{ds}\cdot \dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}+\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}\cdot\dfrac{d\gamma(s)}{ds}=0$ より $\dfrac{d\gamma(s)}{ds}\cdot \dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}=0$ である．つまり $\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}$ は $\dfrac{d\gamma(s)}{ds}$ と直交する．

$\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}$ の単位法線ベクトル成分 $\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}\cdot \boldsymbol{n}$ の $s=0$ での値を空間曲線 $\gamma(s)$ の点 $(x_0,y_0,z_0)$ における法曲率 と呼ぶ．

$t=0$ のときに $(u_0,v_0)$ を通る曲線 $c(t)$ をいろいろ取り換えると，法曲率も様々な値を取る．法曲率の取りうる値の最大値 $\kappa_1$ と最小値 $\kappa_2$ をこの曲面の点 $(x_0,y_0,z_0)$ における主曲率と呼ぶ．また，積 $K:=\kappa_1\kappa_2$ をガウス曲率，平均 $H:=\dfrac{ \kappa_1+\kappa_2}{2}$ を平均曲率と呼ぶ．

第1基本量

$\left(\dfrac{ds(t)}{dt}\right)^2$ を計算する． \begin{align} \left(\dfrac{ds(t)}{dt}\right)^2 =& \left|\dfrac{d(\boldsymbol{p}(u(t),v(t))}{dt}\right|^2 \\=&\left| \boldsymbol{p}_u(u(t),v(t))\dfrac{du(t)}{dt}+\boldsymbol{p}_v(u(t),v(t))\dfrac{dv(t)}{dt}\right|^2 \\=&|\boldsymbol{p}_u(u(t),v(t))|^2 \left(\dfrac{du(t)}{dt}\right)^2 \\&+2\boldsymbol{p}_u(u(t),v(t)) \cdot \boldsymbol{p}_v(u(t),v(t))\dfrac{du(t)}{dt}\dfrac{dv(t)}{dt}\\&+|\boldsymbol{p}_v(u(t),v(t))|^2 \left(\dfrac{dv(t)}{dt}\right)^2 \end{align} ここで $E(u,v)=|\boldsymbol{p}_u|^2,~ F(u,v)=\boldsymbol{p}_u \cdot \boldsymbol{p}_v,~G(u,v)=|\boldsymbol{p}_v|^2$ を第1基本量と呼ぶ．これを用いると $\left(\dfrac{ds(t)}{dt}\right)^2$ は\begin{align} E(u(t),v(t)) \left(\dfrac{du(t)}{dt}\right)^2+2F(u(t),v(t))\dfrac{du(t)}{dt}\dfrac{dv(t)}{dt}+G(u(t),v(t))\left(\dfrac{dv(t)}{dt}\right)^2\end{align}となる．

第2基本量

$\gamma(s)=(\boldsymbol{p}\circ c \circ t)(s)=\boldsymbol{p}(u(t(s)),v(t(s)))$ を用いて法曲率 $\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}\cdot \boldsymbol{n}$ を計算する．記号が複雑になるので関数の変数を省略した形で書く． \begin{align}\dfrac{d\gamma(s)}{ds}&=\boldsymbol{p}_u \dfrac{du}{dt}\dfrac{dt}{ds} +\boldsymbol{p}_v \dfrac{dv}{dt}\dfrac{dt}{ds}=\left(\boldsymbol{p}_u \dfrac{du}{dt} +\boldsymbol{p}_v \dfrac{dv}{dt}\right)\dfrac{dt}{ds} \\
\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}&=\left(\boldsymbol{p}_{uu} \left(\dfrac{du}{dt}\right)^2 +2\boldsymbol{p}_{uv}\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+\boldsymbol{p}_{vv} \left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2\right)\left(\dfrac{dt}{ds}\right)^2+\mbox{($\boldsymbol{p}_u$ と $\boldsymbol{p}_v$ の一次結合)} \end{align} となる． $\boldsymbol{p}_u,~\boldsymbol{p}_v$ と $\boldsymbol{n}$ は直交するので法曲率は \begin{align}\dfrac{d^2\gamma(s)}{ds^2}\cdot \boldsymbol{n}=\left(\boldsymbol{p}_{uu}\cdot \boldsymbol{n} \left(\dfrac{du}{dt}\right)^2 +2\boldsymbol{p}_{uv}\cdot \boldsymbol{n}\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+\boldsymbol{p}_{vv}\cdot \boldsymbol{n} \left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2\right)\left(\dfrac{dt}{ds}\right)^2 \end{align} となる．ここで $L(u,v)=\boldsymbol{p}_{uu}\cdot \boldsymbol{n},~M(u,v)=\boldsymbol{p}_{uv}\cdot \boldsymbol{n},~ N(u,v)=\boldsymbol{p}_{vv}\cdot \boldsymbol{n}$ を第2基本量と呼ぶ．

ガウス曲率・平均曲率の公式

法曲率を第1基本量と第2基本量で表すと \begin{align}&\left(L \left(\dfrac{du}{dt}\right)^2 +2M\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+N\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2\right)\left(\dfrac{dt}{ds}\right)^2 \\
&=\dfrac{L \left(\dfrac{du}{dt}\right)^2 +2M\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+N\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2}{\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2}\\
&=\dfrac{L \left(\dfrac{du}{dt}\right)^2 +2M\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+N\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2}{E \left(\dfrac{du}{dt}\right)^2 +2F\dfrac{du}{dt}\dfrac{dv}{dt}+G\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2}\end{align} となる．この $t=0$ での値が曲面上の点 $(x_0,y_0,z_0)$ における法曲率であった．第1基本量と第2基本量の $t=0$ での値は曲線 $c(t)$ の取り方に依らないので，点 $(x_0,y_0,z_0)$ における法曲率は $\dfrac{dc}{dt}(0)=\left(\dfrac{dv}{dt}(0),\dfrac{du}{dt}(0)\right)^\mathsf{T}$ で決まる．

$\alpha=\dfrac{dv}{dt}(0),~\beta=\dfrac{du}{dt}(0)$ とおく． $(\boldsymbol{p}\circ c)(t)$ が非特異であるという性質は保ったまま曲線 $t=0$ で $(u_0,v_0)$ を通る $c(t)$ をいろいろ取り換えると， $(\alpha,\beta)^\mathsf{T}$ は $\mathbb{R}^2-\{\boldsymbol{0}\}$ のすべての値を取りうる．よって法曲率は分母が正定値である $(\alpha,\beta)^\mathsf{T}$ に関する2次形式の比 \begin{align}\dfrac{L\alpha^2+2 M\alpha \beta+N\beta^2 }{E\alpha^2+2 F\alpha\beta +G\beta^2 }
=\dfrac{(\alpha,\beta)\left(\begin{array}{cc} L & M\\ M& N \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta \end{array}\right)}{(\alpha,\beta)\left(\begin{array}{cc} E & F\\ F& G \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \alpha\\ \beta \end{array}\right)}\end{align} で，上で示した定理により，法曲率の最大値と最小値である主曲率は行列 \begin{align}\left(\begin{array}{cc} E & F\\ F& G \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} L & M\\ M& N \end{array}\right)=\dfrac{1}{EG-F^2} \left(\begin{array}{cc} G L - F M & G M - F N \\ EM-FL & EN-FM \end{array}\right) \end{align} の2つの固有値である．さらに，ガウス曲率 $K$ はこの行列の行列式で，平均曲率 $H$ はトレースの $\frac{1}{2}$ 倍となる．よって \begin{align} K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2},~~H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)} \end{align} となる．