1次方程式と2次方程式は中学数学で習います。3次方程式と4次方程式も代数的な解法が知られています。
三次方程式 - Wikipedia
四次方程式 - Wikipedia
しかしなんか複雑で覚えにくいですね。今回は本質的に新しい方法ではないですが,個人的に覚えやすいと思う形の3次方程式の解法と4次方程式の解法を紹介します。
両辺を先頭係数で割ることで,先頭係数は にできます。
さらに と置くと
次の係数が
の方程式 に変形できます。
というわけで,以下では 次方程式 (
) で先頭項が
かつ
次の係数が
のものを考えます。
3次方程式の解法
を解きましょう。 をパラメータとして,
と変数変換すると,
となります。ここで と
の係数は
のとき
です。
つまり と変数変換すると
となります。 これは に関する2次方程式なので
を求めることができ,その3乗根を取ることで
が求まり,それを
に代入することで
が求まります。
補足: の値は6つ出てきますが,
を変形すると
で
に関する2次方程式になるので,2つの
に対して1つの
が対応し,
はちゃんと3つになります。
の解と係数の関係に注目すると,6つの
のうち,積が
になるペアが3つあり,そのそれぞれのペアで和を取ったものが
になります*1。この方法は本質的にはカルダノの方法と同じ計算をしています。
4次方程式の解法
を解きましょう。まず 以外の項を右辺に移行します。
ここでパラメータ を導入して両辺に
を足します。すると左辺は
になります。
ここで,右辺の判別式
は に関して3次式です。そこで,3次方程式の解法を用いて
となるように
の値を定めましょう。そのとき,右辺を平方完成すると
*1:具体的には,3乗根の主枝を実数の場合には通常の3乗根と一致するように取ると,\begin{align} y=\omega^k~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}}, ~(k=0,1,2)\end{align}
となります(ただし は
の原始3乗根)。この中で,積が
になるものでペアを作り,和を取ることにより
\begin{align}
x&=&\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} +\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} , ~~~~\\
&&\omega^2~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} + \omega~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} , \\
&&\omega~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} + \omega^2~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} \\
\end{align}
が元の方程式の解であることが分かります。実際に書くとごちゃごちゃしてますね。