1次方程式と2次方程式は中学数学で習います。3次方程式と4次方程式も代数的な解法が知られています。
三次方程式 - Wikipedia
四次方程式 - Wikipedia
しかしなんか複雑で覚えにくいですね。今回は本質的に新しい方法ではないですが,個人的に覚えやすいと思う形の3次方程式の解法と4次方程式の解法を紹介します。
両辺を先頭係数で割ることで,先頭係数は にできます。
さらに と置くと 次の係数が の方程式 に変形できます。
というわけで,以下では 次方程式 () で先頭項が かつ 次の係数が のものを考えます。
3次方程式の解法
を解きましょう。 をパラメータとして, と変数変換すると,
となります。ここで と の係数は のとき です。
つまり と変数変換すると
となります。 これは に関する2次方程式なので を求めることができ,その3乗根を取ることで が求まり,それを に代入することで が求まります。
補足: の値は6つ出てきますが, を変形すると で に関する2次方程式になるので,2つの に対して1つの が対応し, はちゃんと3つになります。 の解と係数の関係に注目すると,6つの のうち,積が になるペアが3つあり,そのそれぞれのペアで和を取ったものが になります*1。この方法は本質的にはカルダノの方法と同じ計算をしています。
4次方程式の解法
を解きましょう。まず 以外の項を右辺に移行します。
ここでパラメータ を導入して両辺に を足します。すると左辺は になります。
ここで,右辺の判別式
は に関して3次式です。そこで,3次方程式の解法を用いて となるように の値を定めましょう。そのとき,右辺を平方完成すると
*1:具体的には,3乗根の主枝を実数の場合には通常の3乗根と一致するように取ると,\begin{align} y=\omega^k~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}}, ~(k=0,1,2)\end{align} となります(ただし は の原始3乗根)。この中で,積が になるものでペアを作り,和を取ることにより \begin{align} x&=&\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} +\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} , ~~~~\\ &&\omega^2~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} + \omega~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} , \\ &&\omega~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} + \omega^2~~\sqrt[3]{-\cfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\cfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\cfrac{p}{3}\right)^3}} \\ \end{align} が元の方程式の解であることが分かります。実際に書くとごちゃごちゃしてますね。