数値的半群環のイデアルの生成元の数 - 現実と数学の区別が付かない

$k$ を体とし，正整数 $a_1,a_2\dots,a_n$ で定まる $k[t]$ の部分環 $k[t^{a_1},t^{a_2},\dots, t^{a_n}]$ ，または $k[[t]]$ の部分環 $k[[t^{a_1},t^{a_2},\dots, t^{a_n}]]$ を数値的半群と呼びます。

MathPower にも出ていた可換環論botこと龍孫江さんの今日の記事で次の定理が示されていました。

定理
$k[[t^2,t^3]]$ のあらゆるイデアルは，高々２個の要素で生成される.

blog.livedoor.jp
この「高々２個」の２は $k[[t^2,t^3]]$ の生成元 $t^2$ の指数２と関係がありそうですよね。この定理を一般化した次の定理を示すことができます。

定理
$a_1 < a_2 < \dots < a_n$ を正整数とする。
$k[t^{a_1},t^{a_2}\dots, t^{a_n}]$ と $k[[t^{a_1},t^{a_2}\dots, t^{a_n}]]$ のあらゆるイデアルは，高々 $a_1$ 個の要素で生成される.

証明
まず， $R=k[t^{a_1},t^{a_2}\dots, t^{a_n}]$ に対して示す。

$k[t^{a_1}]$ は $R$ の部分環でPID。 $R$ を含む環 $k[t]$ は階数 $a_1$ の自由 $k[t^{a_1}]$ -加群になっている。 $R$ のイデアルは $k[t]$ の部分 $k[t^{a_1}]$ -加群で，ねじれ部分がないので，階数が高々 $a_1$ の自由 $k[t^{a_1}]$ -加群になり，特に高々 $a_1$ 個の要素で生成されている。 $k[t^{a_1}]$ -加群としての生成系は当然， $R$ -加群としての生成系でもあるので， $R$ の任意のイデアルは高々 $a_1$ 個の要素で生成される。