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周期関数の1周期積分の区分求積法

高橋-森理論など,複素解析を用いて数値積分誤差を行う話があります.今回は比較的わかりやすい例として,周期関数の1周期積分の区分求積法は区間の分割数を増やすにしたがって非常に早く(指数オーダーで)収束することを紹介します.

周期関数の1周期積分

d>0, \varepsilon >0 とし,領域 D=\{z \mid  -(d+\varepsilon)<\mathrm{Im}~z< d+\varepsilon\}\subset \mathbb{C} で正則な f(z) が実数 \alpha を周期に持つ,つまり\begin{align}
\forall z\in D, f(z+\alpha)=f(z) \end{align}が成り立っているとする.例えば,何らかの式 \varphi に対する f(z)=\varphi(e^{iz}) は周期 2\pi を持つ (\varphi が「よい」ものなら正則にもなる).実軸上での周期1つ分の積分 \begin{align} I:=\int_0^\alpha f(x) dx \end{align}を f(z)1周期積分と呼ぶことにする.積分区間 [0,\alpha] でなくても,長さ \alpha区間ならばどこを取っても同じである. t=\alpha x と変数変換すると,\begin{align}
\displaystyle I=\int_0^\alpha f(x) dx=\alpha^{-1} \int_0^1 f(\alpha t) dt
\end{align}となり,周期1の周期関数 f(\alpha z) の1周期積分の計算に帰着できる.表記を簡単にするために f(\alpha z) を改めて f(z) とおいて,周期が \alpha=1 であるとする.

このとき,1周期積分  I=\displaystyle\int_0^1 f(x) dx は区分求積法\begin{gather}
I=\lim_{N\to \infty} I_N\\
I_N:=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f\left(\frac{k}{N}\right)
\end{gather}で求まりるが,この極限は指数オーダーで収束することを証明する.

証明

g(z)=\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) とおく.g(z) も周期 1 を持つことに注意しておく.

g(z)特異点は高々一位の極 z=\cfrac{k}{N}, k\in\mathbb{Z}, であり,留数は\begin{align}
\mathrm{Res}\left(g,\cfrac{k}{N}\right)=\lim_{z\to \frac{k}{N}} g(z)\left(z-\frac{k}{N}\right)=\left.\cfrac{f(z) }{(e^{2\pi i Nz}-1)'}\right|_{z=\frac{k}{N}}=\frac{1}{2\pi i N} f\left(\cfrac{k}{N}\right)
\end{align}である (z=\frac{k}{N}f(z) の零点で,g(z) の除去可能特異点となる場合は留数が 0).

h=1/N とし,下図のように経路 C_1,C_2,C_3,C_4 を取り,反時計回りの閉じた経路 C=-C_1-C_3+C_2+C_4 を考えると,C で囲まれる領域に含まれる g(z)特異点z=\cfrac{k}{N},~0\le k\le N-1, なので,留数定理より \begin{align}
\int_C g(z) dz=2\pi i \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{Res}\left(g,\cfrac{k}{N}\right)=2\pi i \sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{2\pi i N} f\left(\cfrac{k}{N}\right)=I_N\end{align}が成り立つ.
f:id:egory_cat:20220310093642p:plain:w500
周期性 g(z+1)=g(z) より \displaystyle \int_{C_3} g(z) dz=\int_{C_4} g(z) dz が成り立つので,\begin{align}
I_N=\int_C g(z) dz&=-\int_{C_1} g(z) dz - \int_{C_3} g(z) dz + \int_{C_2} g(z) dz + \int_{C_4} g(z) dz\\
&=- \int_{C_1} g(z) dz + \int_{C_2} g(z) dz
\end{align}となる.また,下図のように反時計回りの閉路 C' をとる.
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f(z)D で正則なのでコーシーの積分定理より \displaystyle \int_{C'}f(z)dz=0 である.また,周期性 f(z)=f(z+1) より,やはり虚軸に平行な部分の経路の積分がキャンセルして 0 となり,\begin{align}
0=\int_{C'}f(z)dz =\int_{-h/2}^{1-h/2} f(x) dx -\int_{C_1} f(z)dz
\end{align} が成り立つ.よって\begin{align}
I=\int_0^1 f(x) dx =\int_{-h/2}^{1-h/2} f(x) dx =\int_{C_1} f(z) dz
\end{align}となる.以上より,II_N の差を \begin{align}
I-I_N&=\int_{C_1} f(z)+g(z) dz - \int_{C_2} g(z) dz\\
&= \int_{C_1} \left( 1+\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1}\right) f(z) dz - \int_{C_2}\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) dz\\
&=\int_{C_1} \cfrac{e^{2\pi i Nz}}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) dz - \int_{C_2}\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) dz
\end{align}と複素積分で表すことができる.

以下 N N>\cfrac{\log 2}{2\pi d} を満たすように大きく取る.このとき  e^{-2\pi dN} <\cfrac{1}{2} が成り立つ.
C_1:z(t)= id+t ~,-h/2\le t\le 1-h/2 より,C_1 上では \begin{align}
\left|\cfrac{e^{2\pi i N( id+t)}}{e^{2\pi i N (id+t)}-1} \right| \le \cfrac{|e^{2\pi i N( id+t)}|}{1-|e^{2\pi i N( id+t)}|} = \cfrac{e^{-2\pi dN}}{1-e^{-2\pi dN}}<2e^{-2\pi dN}
\end{align}C_2:z(t)=-id+t, ~,-h/2\le t\le 1-h/2 より,C_2 上では \begin{align}
\left|\cfrac{1}{e^{2\pi i N (-id+t)}-1} \right| \le\cfrac{1}{|e^{2\pi i N(-id+t)}|-1}=\cfrac{1}{e^{2\pi d N}-1} = \cfrac{e^{-2\pi dN}}{1-e^{-2\pi dN}}<2e^{-2\pi dN}
\end{align}よって \displaystyle M:=\max_{\mathrm{Im}(z)=\pm d} |f(z)| とおくと,\begin{align}
\left|I-I_N\right| &\le \int_{C_1} \left |\cfrac{e^{2\pi i Nz}}{e^{2\pi i Nz}-1}\right| |f(z)| |dz| + \int_{C_2} \left |\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} \right| |f(z)| |dz| \\
&<2e^{-2\pi dN}\cdot M \cdot \mathrm{length}(C_1) + 2e^{-2\pi dN}\cdot M\cdot\mathrm{length}(C_2)\\&=4Me^{-2\pi dN}
\end{align}となり,極限 I=\lim_{N\to \infty} I_N は指数オーダーで収束する.