987654321/123456789 がほぼ 8 - 現実と数学の区別が付かない

計算機で計算してみると
$\begin{align} \cfrac{987654321}{123456789}=8.00000007290000066339000603684905493532639991147\ldots \end{align}$ となり，整数部分が $8$ で，小数第1位から $0$ が $7$ 個連続しているので「ほぼ $8$ 」ですが，よく見ると $0$ が連続している部分がその後にも出てきます．しかも連続する $0$ の長さも $7,5,3$ と $2$ ずつ短くなっています．\begin{align}
\cfrac{987654321}{123456789}=8+7.29\times 10^{-8}+6.6339\times 10^{-16}+6.036849\times 10^{-24}+\cdots
\end{align}のように解釈すると，何か理由がありそうに見えます．今回はその理由を考えてみましょう．

$n$ 進数の場合に一般化して $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} kn^{k-1}$ を $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)n^{k-1}$ で割ったものを考えます． $x$ を変数として，等比級数の和 \begin{align}
\sum_{k=1}^{n-1} x^k =\cfrac{1-x^n}{1-x}-1 \end{align}の両辺を $x$ で微分すると

$\begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}k x^{k-1} =\cfrac{-nx^{n-1}(1-x)+(1-x^n)}{(1-x)^2} =\cfrac{(n-1)x^{n} -nx^{n-1}+ 1}{(1-x)^2}\end{align}$
となります．これらに $x=n$ を代入することで
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}k n^{k-1} & = \cfrac{(n-1)n^{n} -n^{n}+ 1}{(1-n)^2} = \cfrac{(n-2)n^n+ 1}{(1-n)^2}\\ \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)n^{k-1} &=\sum_{k=1}^{n-1} n^k - \sum_{k=1}^{n-1}k n^{k-1}=\cfrac{n-n^{n}}{1-n}-\cfrac{n^{n+1} -2n^{n}+ 1}{(1-n)^2}\\ &=\cfrac{n^n -(n^2 - n + 1)}{(1-n)^2} \end{align}$
が得られます．以上より $\begin{align} \cfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} kn^{k-1}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (n-k)n^{k-1}}=\cfrac{(n-2)n^n+ 1}{n^n -(n^2 - n + 1)} =\cfrac{(n-2)+ n^{-n}}{1 -(n^2 - n + 1)n^{-n}} \end{align}$
となります． $\displaystyle \lim_{n\to \infty}n^{-n}=\lim_{n\to \infty}(n^2 - n + 1)n^{-n}=0$ なので， $n$ が十分大きいときこの値は「ほぼ $n-2$ 」になります．

$n\ge 2$ より $\alpha:= (n^2 - n + 1)n^{-n} \le (n^2 - n + 1)n^{-2} =1-\frac{n-1}{n^2}<1$ なので，

$\begin{align} \cfrac{(n-2)+ n^{-n}}{1 -(n^2 - n + 1)n^{-n}}=\cfrac{(n-2)+ n^{-n}}{1 - \alpha}=\{(n-2)+ n^{-n}\}\sum_{k=0}^\infty \alpha^k \end{align}$ と展開できます．

$n=10$ のときは $\alpha=(10^2-10+1)10^{-10}=0.91\times 10^{-8}$ なので \begin{align}
\cfrac{987654321}{123456789}=&(8+0.01\times 10^{-8})\sum_{k=0}^\infty (0.91\times 10^{-8})^k \\
=&8+(8\times 0.91+0.01)10^{-8}+(8\times 0.91^2+0.01\times 0.91)10^{-16} \\&+(8\times 0.91^3+0.01\times 0.91^2)10^{-24}+\cdots
\end{align}となり，小数部分の最初の方に $0$ が連続したものが現れる理由が分かりました．\begin{align}8 &\xrightarrow{0.91 \mbox{倍して} +0.01~~~~~~}8\times 0.91+0.01\xrightarrow{0.91\mbox{倍}} 8\times 0.91^2+0.01\times 0.91 \\
&\xrightarrow{0.91 \mbox{倍}}8\times 0.91^3+0.01\times 0.91^2
\end{align}であり， $0.91$ 倍すると桁の長さが $2$ だけ長くなるので，連続する $0$ の長さが $2$ ずつ短くなっています ( $8\times 0.91+0.01=7.29,~7.29\times 0.91=6.6339$ に $0$ が現れないのは偶々)．