コインを1万回投げて表がちょうど5千回出る確率はどのくらいになるでしょうか?まずはだいたいの感覚で考えてみてください.
この確率は となります.WolframAlpha に聞いてみましょう.
N[binom(10000,5000)/2^10000,10] - Wolfram|Alpha
答えは で 弱です.予想と比較してどうでしたでしょうか?私は意外と大きな値だと思いました.
回コインを投げて表がちょうど 回出る確率 \begin{align} q_n:= \dfrac{\dbinom{2n}{n}}{2^{2n}}\end{align} は である二項分布の確率質量関数の最大値です. が十分大きなとき,これは である正規分布の確率密度関数 の最大値 とほぼ一致しています.よって ではあるものの,その収束は遅めです.
実際にいくつかの について表にしてみると,確かに のとき と は近い値になることが見て取れます.
10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | |
0.17620 | 0.056348 | 0.017839 | 0.0056418 | 0.0017841 | |
0.17841 | 0.056419 | 0.017841 | 0.0056419 | 0.0017841 |
が で近似されることは,ガンマ関数の漸近近似式\begin{align}
\Gamma(x) \sim \sqrt{\dfrac{2\pi}{x}} \left(\dfrac{x}{e}\right)^x~~(x\to \infty)
\end{align}と より次のように示すこともできます. \begin{align}
q_n&=\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}=\dfrac{\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}~\Gamma\left(n+1\right)}\\
&\sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\dfrac{n+1}{n+\frac{1}{2}}} \left(\dfrac{n+\frac{1}{2}}{n+1} \right)^{n+1} \sqrt{\dfrac{e}{n+\frac{1}{2}}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}\dfrac{ \sqrt{n(n+1)} }{n+\frac{1}{2}} \left(1-\frac{1}{2(n+1)}\right)^{n+1} \sqrt {e}\\
&\sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}} ~~(n\to \infty)
\end{align}