現実と数学の区別が付かない

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コインを1万回投げて表がちょうど5千回出る確率

コインを1万回投げて表がちょうど5千回出る確率はどのくらいになるでしょうか？まずはだいたいの感覚で考えてみてください．

この確率は \dfrac{\binom{10000}{5000}}{2^{10000}} となります．WolframAlpha に聞いてみましょう．

N[binom(10000,5000)/2^10000,10] - Wolfram|Alpha

答えは 0.00797864\ldots で 0.8\% 弱です．予想と比較してどうでしたでしょうか？私は意外と大きな値だと思いました．

2n 回コインを投げて表がちょうど n 回出る確率 \begin{align} q_n:= \dfrac{\dbinom{2n}{n}}{2^{2n}}\end{align} は N=2n, p=\dfrac{1}{2} である二項分布の確率質量関数の最大値です．n が十分大きなとき，これは \mu=Np=n,~\sigma =Np(1-p)=\dfrac{n}{2} である正規分布の確率密度関数 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}} の最大値 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} =\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}} とほぼ一致しています．よって \displaystyle\lim_{n\to \infty} q_n=0 ではあるものの，その収束は遅めです．

実際にいくつかの n について表にしてみると，確かに n\gg 1 のとき q_n と \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}} は近い値になることが見て取れます．

n 10 100 1000 10000 100000
q_n 0.17620 0.056348 0.017839 0.0056418 0.0017841
\dfrac{1}{\sqrt{n\pi}} 0.17841 0.056419 0.017841 0.0056419 0.0017841

q_n が \dfrac{1}{\sqrt{n\pi}} で近似されることは，ガンマ関数の漸近近似式\begin{align}
\Gamma(x) \sim \sqrt{\dfrac{2\pi}{x}} \left(\dfrac{x}{e}\right)^x~~(x\to \infty)
\end{align}と \Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)=2^{-2n}\dfrac{(2n)!}{n!} \sqrt{\pi} より次のように示すこともできます． \begin{align}
q_n&=\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}=\dfrac{\Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}~\Gamma\left(n+1\right)}\\
&\sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\dfrac{n+1}{n+\frac{1}{2}}} \left(\dfrac{n+\frac{1}{2}}{n+1} \right)^{n+1} \sqrt{\dfrac{e}{n+\frac{1}{2}}}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}\dfrac{ \sqrt{n(n+1)} }{n+\frac{1}{2}} \left(1-\frac{1}{2(n+1)}\right)^{n+1} \sqrt {e}\\
&\sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}} ~~(n\to \infty)
\end{align}