現実と数学の区別が付かない

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複素数値関数の不定積分

複素数値関数

f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}複素数値関数と呼ぶ.複素数値関数 f(x) は実関数 u(x),v(x) を用いて f(x)=u(x)+iv(x) と書ける.この微分不定積分を \begin{gather}
f'(x)=u'(x)+iv'(x)\\
\int f(x) dx=\int u(x) dx+i \int v(x) dx
\end{gather}で定める.積分定数はまとめて1つの複素数で書ける.

例えば  \cfrac{1}{x-i}=\cfrac{x}{x^2+1}+i\cfrac{1}{x^2+1} e^{ix}=\cos(x)+i \sin(x)複素数値関数の例である.

\tan^{-1}(x)複素数値関数で表現する

複素数偏角の主値を -\pi \le \mathrm{Arg}(z)<\pi と定め \mathrm{Log}(z)=\log |z| +i \mathrm{Arg}(z) とする (\log は実関数としての対数関数).

このとき,実数 x に対し \begin{align}
\mathrm{\tan^{-1}}(x)=\cfrac{\mathrm{Log}(x-i)-\mathrm{Log}(x+i)}{2i}+\cfrac{\pi}{2}
\end{align}となる.

実際,r=|x-i|=|x+i|,~\theta=-\mathrm{Arg}(x-i)=\mathrm{Arg}(x+i) とすると,\begin{align}
\cfrac{\mathrm{Log}(x-i)-\mathrm{Log}(x+i)}{2i}+\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{(r-i\theta)-(r+i\theta)}{2i}+\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{\pi}{2}-\theta=\mathrm{\tan^{-1}}(x)
\end{align}である.

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応用

\displaystyle \int \cfrac{1}{1+x^2} dx

\begin{align} \int \cfrac{1}{1+x^2} dx =\mathrm{\tan^{-1}}(x) +C\end{align}x=\tan(t) という変数変換で計算できることはよく知られている.ここでは複素数値関数を利用して計算してみる.\begin{align}
\cfrac{1}{1+x^2} =\cfrac{A}{x-i}+\cfrac{B}{x+i}
\end{align}となる A, B は \begin{gather}
A=\lim_{x\to i}\cfrac{x-i}{1+x^2} =\left.\cfrac{1}{(1+x^2)'}\right|_{x=i} =\cfrac{1}{2i}\\
B=\lim_{x\to -i}\cfrac{x+i}{1+x^2} =\left.\cfrac{1}{(1+x^2)'}\right|_{x=-i} =\cfrac{1}{-2i}
\end{gather}であるので,\begin{align} \int \cfrac{1}{1+x^2} dx &=\int \cfrac{1}{2i(x-i)}+\cfrac{1}{-2i(x+i)}dx\\
&=\cfrac{\mathrm{Log}(x-i)-\mathrm{Log}(x+i)}{2i}+\cfrac{\pi}{2}+C_1\\
&=\mathrm{\tan^{-1}}(x)+C_2\end{align}となる.

\displaystyle \int \cfrac{1}{1+x^4} dx

\alpha^4=1 のとき -\alpha=\alpha^{-3} より, \begin{align}\mathrm{Res}\left( \cfrac{1}{1+z^4}; \alpha\right)=\cfrac{1}{4\alpha^3}=\cfrac{-\alpha}{4}\end{align}である.よって
\begin{align}
\cfrac{1}{1+x^4}
&=\sum_{\alpha^4=1} \cfrac{-\alpha}{4} \cdot \cfrac{1}{x-\alpha}\\
&=\cfrac{1}{4}\left(\cfrac{-1-i}{\sqrt{2} x-1-i}+\cfrac{1-i}{\sqrt{2} x+1-i}+\cfrac{1+i}{\sqrt{2} x+1+i}+\cfrac{-1+i}{\sqrt{2} x-1+i}\right)
\end{align}と部分分数分解できる.よって

\begin{align}
&\int \cfrac{1}{1+x^4} dx\\
{}=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\biggl(-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1-i)+\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1-i)+\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1+i)-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1+i) \biggr)\\
&{+}\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\biggl(-i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1-i)-i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1-i)+i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1+i)+i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1+i) \biggr)+C_1\\
{}=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\biggl(\mathrm{Log}(2x^2+2\sqrt{2} x+ 2)- \mathrm{Log}(2x^2-2\sqrt{2} x+ 2)\bigg)\\
&+\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\biggl(\cfrac{\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1-i)-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1+i)}{2i} +\cfrac{\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1-i)-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1+i)}{2i}\bigg)+C_1 \\
{}=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\mathrm{log}\cfrac{x^2+\sqrt{2} x+ 1}{x^2-\sqrt{2} x+ 1}+\cfrac{\tan^{-1}(\sqrt{2} x+1)+\tan^{-1}(\sqrt{2} x-1)}{2\sqrt{2}}+C_2
\end{align}となる.

元ネタ

↓の動画を見て 1+x^4 を複素係数の範囲で一次式に分解して部分分数分解してから複素数値関数として積分したら計算が楽にならないかなと思ってやってみたのだけれど,そんなに楽にはならなかった.

www.youtube.com