複素数値関数
を複素数値関数と呼ぶ.複素数値関数 は実関数 を用いて と書ける.この微分と不定積分を \begin{gather}
f'(x)=u'(x)+iv'(x)\\
\int f(x) dx=\int u(x) dx+i \int v(x) dx
\end{gather}で定める.積分定数はまとめて1つの複素数で書ける.
例えば や は複素数値関数の例である.
を複素数値関数で表現する
複素数の偏角の主値を と定め とする ( は実関数としての対数関数).
このとき,実数 に対し \begin{align}
\mathrm{\tan^{-1}}(x)=\cfrac{\mathrm{Log}(x-i)-\mathrm{Log}(x+i)}{2i}+\cfrac{\pi}{2}
\end{align}となる.
実際, とすると,である.
応用
は という変数変換で計算できることはよく知られている.ここでは複素数値関数を利用して計算してみる.\begin{align}
\cfrac{1}{1+x^2} =\cfrac{A}{x-i}+\cfrac{B}{x+i}
\end{align}となる は \begin{gather}
A=\lim_{x\to i}\cfrac{x-i}{1+x^2} =\left.\cfrac{1}{(1+x^2)'}\right|_{x=i} =\cfrac{1}{2i}\\
B=\lim_{x\to -i}\cfrac{x+i}{1+x^2} =\left.\cfrac{1}{(1+x^2)'}\right|_{x=-i} =\cfrac{1}{-2i}
\end{gather}であるので,\begin{align} \int \cfrac{1}{1+x^2} dx &=\int \cfrac{1}{2i(x-i)}+\cfrac{1}{-2i(x+i)}dx\\
&=\cfrac{\mathrm{Log}(x-i)-\mathrm{Log}(x+i)}{2i}+\cfrac{\pi}{2}+C_1\\
&=\mathrm{\tan^{-1}}(x)+C_2\end{align}となる.
のとき より, \begin{align}\mathrm{Res}\left( \cfrac{1}{1+z^4}; \alpha\right)=\cfrac{1}{4\alpha^3}=\cfrac{-\alpha}{4}\end{align}である.よって
\begin{align}
\cfrac{1}{1+x^4}
&=\sum_{\alpha^4=1} \cfrac{-\alpha}{4} \cdot \cfrac{1}{x-\alpha}\\
&=\cfrac{1}{4}\left(\cfrac{-1-i}{\sqrt{2} x-1-i}+\cfrac{1-i}{\sqrt{2} x+1-i}+\cfrac{1+i}{\sqrt{2} x+1+i}+\cfrac{-1+i}{\sqrt{2} x-1+i}\right)
\end{align}と部分分数分解できる.よって
\begin{align}
&\int \cfrac{1}{1+x^4} dx\\
{}=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\biggl(-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1-i)+\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1-i)+\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1+i)-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1+i) \biggr)\\
&{+}\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\biggl(-i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1-i)-i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1-i)+i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1+i)+i\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1+i) \biggr)+C_1\\
{}=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\biggl(\mathrm{Log}(2x^2+2\sqrt{2} x+ 2)- \mathrm{Log}(2x^2-2\sqrt{2} x+ 2)\bigg)\\
&+\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\biggl(\cfrac{\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1-i)-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x+1+i)}{2i} +\cfrac{\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1-i)-\mathrm{Log}(\sqrt{2} x-1+i)}{2i}\bigg)+C_1 \\
{}=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\mathrm{log}\cfrac{x^2+\sqrt{2} x+ 1}{x^2-\sqrt{2} x+ 1}+\cfrac{\tan^{-1}(\sqrt{2} x+1)+\tan^{-1}(\sqrt{2} x-1)}{2\sqrt{2}}+C_2
\end{align}となる.