今日考える問題はこちら.
元ネタ↓
www.watto.nagoya
を について解くと なのでこれが自然数となる を調べればいいのですが, 通りもあるのでもう少し工夫してみましょう.
まず, の場合, となり, なので となります.また, の場合, より となり,ゾロ目の場合 が出てきます .
つまり, は条件を満たす3桁の数です.この自明な場合を除いた解を探してみましょう.
を について解くと となります.これが自然数となるには,少なくとも , でなければなりません.これだけでも候補をかなり絞ることができます.
が整数 の範囲では となるには でなければなりません ( なら となる.)
を変形すると, となります. と の場合はもう考えたので, の範囲で が自然数となるものを探せばいいことになります.この範囲の は \begin{align}(5,4),(6,5),(6,4),(7,6),(7,5),(8,7),(8,6),(8,5),(9,8),(9,7),(9,6),(9,5)\end{align} の 個しかないので,この程度ならなんとか手計算の範囲でしょう.実際に計算してみると\begin{align}(x,y,z)=(1,6,4), (2,6,5),(1,9,5),(4,9,8) \end{align}が解であることが分かります.
以上より,冒頭の問題の答えは\begin{align}100, \dots, 900, 111, \dots,999,~164,~265,~195,~498\end{align}となります.
とりあえず答えは出せましたが,いまいちエレガントな感じがしません.もっとうまい方法はないでしょうか?
整数点のパラメータ表示は可能か?
ピタゴラス数の場合, を満たす整数点全体は \begin{align} x=n^2-m^2,y=2nm,z=n^2+m^2~~(n,m \in \mathbb{Z})\end{align}と書けました. についても同じようなパラメータ表示があれば,条件を満たす整数点を探すのに役に立ちそうです.
ですが を満たす整数点全体を多項式で表すのは難しそうです.例えば \begin{align} x=n(9n+m), y=m(9n+m), z=10nm~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{align} は を満たす整数点を与えますが,全ての整数点を尽くしていません.例えば が抜けています.整数点を与える別の系列を考えることもできます. \begin{align} x=n(n+m), y=9n(n-m), z=5(n^2-m^2)~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{align} は のとき ですが,今度は先ほどは表すことができた などが抜けています.また,どちらも を表すことができません.
最後に少し強めの予想を立てて終わりにします.
どんな自然数 と に対しても \begin{align} S \neq \bigcup_{i=1}^r \bigl\{ \bigl(f_i(m,n),g_i(m,n),h_i(m,n)\bigr) \mid m,n\in\mathbb{Z}\bigr\} \end{align}
としては,変数の片方,または両方が出て来ないものを考えてもいいです.例えば, とするとゾロ目を尽くすことができますし, とすると1点 を表現できます.
この予想が正しい場合,集合 を陽に記述する何かうまい方法はあるでしょうか?逆にこの予想が間違っている場合,等号を成り立たせる最小の は何になるでしょうか?また,一般の2次斉次多項式 の零点集合の整数点についてはどうなるでしょうか?
ここまでくると大学院生でも解けないかもしれません.