可換環論でのニュートン法が「2次収束」することの証明をちゃんと書いておく．
可換環 の可逆元全体を
で表す．可換環とそのイデアル
に対し
の剰余環
での像を
と書く．
証明． とすると，
である．
とおくと，\begin{align}(x+I^n)(z+I^n)&=xy(1-a+a^2+\cdots a^{n-1})\\
&=(1+a)(1-a+a^2+\cdots +(-a)^{n-1})\\
&=1+ (-1)^{n-1}a^n\in 1+I^n\end{align}より が
の逆元となる．証明終
表記を簡単にするために の可逆元
の逆元
を
と書くことにする．これは
を
で考えてその像を取っているのではないことに注意（
は
で可逆とは限らない）．次の定理に現れる
もこの意味での逆元である．
定理
を可換環とそのイデアル，
を正整数，
] とする．
が \begin{align}f(a)\in I^n,~f'(a)+I\in (R/I)^\times\end{align}を満たすとき，\begin{align}b\in a -\cfrac{f(a)}{f'(a)}+I^{2n}\end{align}となる 
を取ると 
であり，\begin{align}f(b)\in I^{2n},~f'(b)+I\in (R/I)^\times\end{align}が成り立つ．
証明． は
の取り方より自明．
となる
が存在する．
より \begin{gather}
f(a)+f'(a)(b-a)\in f'(a) I^{2n}\subset I^{2n},\\
b-a\in -\cfrac{f(a)}{f'(a)} +I^{2n} \subset I^n
\end{gather}であるので， が成り立つ．
また， より
であるので\begin{align}f'(b)+I=f'(a)+I\in (R/I)^\times\end{align}である．証明終
この定理はニュートン法の１ステップで， の
における単根
が
における根
に持ち上がるということを言っている．
が
に改善されており，ニュートン法は「2次収束」である．
系（ニュートン法）
を可換環とそのイデアル，] とする． が \begin{align}f(a)\in I,~f'(a)+I\in (R/I)^\times\end{align}を満たすとき，
を次で定める
\begin{align}
x_0&= a, \\
x_{n+1}&\in x_n -\cfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} + I^{2^{n+1}}.
\end{align}このとき，
は一意に定まっており，\begin{align}
f(x_n) \in I^{2^n},~x_{n+1}-x_n \in I^{2^n}
\end{align}が成り立つ．
\begin{align}
x_0&= a, \\
x_{n+1}&\in x_n -\cfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} + I^{2^{n+1}}.
\end{align}このとき，
f(x_n) \in I^{2^n},~x_{n+1}-x_n \in I^{2^n}
\end{align}が成り立つ．
特に が収束するとき，
を満たす．
