偶数次元の向き付け可能連結閉多様体の偶数次コホモロジー環は Gorenstein 環

タイトルが長い．

$X$ を「偶数次元」で「向き付け可能」で「連結」な閉多様体（=コンパクトで境界のない多様体）とする． $\dim X=2d$ とおくと， $X$ の $\mathbb{Q}$ 係数の偶数次コホモロジー環 \begin{align}
H^{ev}(X;\mathbb{Q}):= \bigoplus_{k=0}^{d} H^{2k}(X;\mathbb{Q})
\end{align}は Gorenstein 環になることを示す．

$H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ はベクトル空間としての加法とカップ積 $\cup$ と呼ばれる積によって可換環になっており，カップ積による双線型写像 \begin{align}
H^{2k}(X;\mathbb{Q})\times H^{2d-2k}(X;\mathbb{Q}) \xrightarrow{\cup} H^{2d}(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}
\end{align}は非退化である(ポアンカレ双対性)．

$H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ は唯一の極大イデアル $\mathcal{m}= \bigoplus_{k\ge 1} H^{2k}(X;\mathbb{Q})$ を持つアルティン局所環で，剰余体は $H^{ev}(X;\mathbb{Q})/\mathcal{m} \cong H^{0}(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}$ である．

よって $H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ が Gorenstein 環であることは socle と呼ばれるイデアル\begin{align}
0:\mathcal{m}=\{x\in H^{ev}(X;\mathbb{Q}) \mid \forall \alpha \in\mathcal{m},~\alpha\cup x=0\}
\end{align}が $\mathbb{Q}$ -ベクトル空間として1次元であることと同値である (これを定義とする流儀もある)．

$H^{2d}(X;\mathbb{Q})\subset 0:\mathcal{m}$ は明らか．また，任意の $\alpha \in H^{2k}(X;\mathbb{Q}), 0\le k\le d-1,$ に対し，ポアンカレ双対性より，ある $\beta \in H^{2d-2k}(X;\mathbb{Q})\subset \mathcal{m}$ が存在して $\alpha \cup \beta \neq 0$ となるので， $\alpha \not\in 0:\mathcal{m}$ である．よって， $0:m=H^{2d}(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}$ であり， $H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ は Gorenstein 環である．

$d$ 次元の非特異複素射影多様体 $X$ は実多様体として偶数次元 $2d$ を持ち，さらに $X$ が射影空間 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^d$ ，旗多様体，グラスマン多様体，またはトーリック多様体のいずれか場合はコホモロジー環が偶数次コホモロジー環と一致することが知られている．よってこれらに対してはコホモロジー環 $H^*(X;\mathbb{Q})$ が Gorenstein 環になる．

現実と数学の区別が付かない

数学ネタのブログです

偶数次元の向き付け可能連結閉多様体の偶数次コホモロジー環は Gorenstein 環