2022-03-12

偶数次元の向き付け可能連結閉多様体の偶数次コホモロジー環は Gorenstein 環

タイトルが長い．

$X$ を「偶数次元」で「向き付け可能」で「連結」な閉多様体（=コンパクトで境界のない多様体）とする． $\dim X=2d$ とおくと， $X$ の $\mathbb{Q}$ 係数の偶数次コホモロジー環 \begin{align}
H^{ev}(X;\mathbb{Q}):= \bigoplus_{k=0}^{d} H^{2k}(X;\mathbb{Q})
\end{align}は Gorenstein 環になることを示す．

$H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ はベクトル空間としての加法とカップ積 $\cup$ と呼ばれる積によって可換環になっており，カップ積による双線型写像 \begin{align}
H^{2k}(X;\mathbb{Q})\times H^{2d-2k}(X;\mathbb{Q}) \xrightarrow{\cup} H^{2d}(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}
\end{align}は非退化である(ポアンカレ双対性)．

$H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ は唯一の極大イデアル $\mathcal{m}= \bigoplus_{k\ge 1} H^{2k}(X;\mathbb{Q})$ を持つアルティン局所環で，剰余体は $H^{ev}(X;\mathbb{Q})/\mathcal{m} \cong H^{0}(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}$ である．

よって $H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ が Gorenstein 環であることは socle と呼ばれるイデアル\begin{align}
0:\mathcal{m}=\{x\in H^{ev}(X;\mathbb{Q}) \mid \forall \alpha \in\mathcal{m},~\alpha\cup x=0\}
\end{align}が $\mathbb{Q}$ -ベクトル空間として1次元であることと同値である (これを定義とする流儀もある)．

$H^{2d}(X;\mathbb{Q})\subset 0:\mathcal{m}$ は明らか．また，任意の $\alpha \in H^{2k}(X;\mathbb{Q}), 0\le k\le d-1,$ に対し，ポアンカレ双対性より，ある $\beta \in H^{2d-2k}(X;\mathbb{Q})\subset \mathcal{m}$ が存在して $\alpha \cup \beta \neq 0$ となるので， $\alpha \not\in 0:\mathcal{m}$ である．よって， $0:m=H^{2d}(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}$ であり， $H^{ev}(X;\mathbb{Q})$ は Gorenstein 環である．

$d$ 次元の非特異複素射影多様体 $X$ は実多様体として偶数次元 $2d$ を持ち，さらに $X$ が射影空間 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^d$ ，旗多様体，グラスマン多様体，またはトーリック多様体のいずれか場合はコホモロジー環が偶数次コホモロジー環と一致することが知られている．よってこれらに対してはコホモロジー環 $H^*(X;\mathbb{Q})$ が Gorenstein 環になる．

2022-03-11

ニュートン法の2次収束性とヘンゼルの補題

可換環論でのニュートン法が「2次収束」することの証明をちゃんと書いておく．

可換環 $S$ の可逆元全体を $S^\times$ で表す．可換環とそのイデアル $I\subset R$ に対し $x\in R$ の剰余環 $R/I$ での像を $x+I$ と書く．

$x\in R$ に対し $x+I\in (R/I)^\times$ ならば $x+I^n\in (R/I^n)^\times$ ．

証明． $(x+I)^{-1}=y+I$ とすると， $a:=xy-1\in I$ である．

$z=y(1-a+a^2+\cdots +a^{n-1})$ とおくと，\begin{align}(x+I^n)(z+I^n)&=xy(1-a+a^2+\cdots a^{n-1})\\
&=(1+a)(1-a+a^2+\cdots +(-a)^{n-1})\\
&=1+ (-1)^{n-1}a^n\in 1+I^n\end{align}より $z+I^n$ が $x+I^n$ の逆元となる．証明終

表記を簡単にするために $R/J$ の可逆元 $x+J$ の逆元 $(x+J)^{-1}$ を $\cfrac{1}{x}+J$ と書くことにする．これは $\cfrac{1}{x}$ を $R$ で考えてその像を取っているのではないことに注意（ $x$ は $R$ で可逆とは限らない）．次の定理に現れる $\cfrac{1}{f'(a)}+I^{2n}$ もこの意味での逆元である．

定理
$I\subset R$ を可換環とそのイデアル， $n$ を正整数， $f(x)\in R[x$ ] とする． $a\in R$ が \begin{align}f(a)\in I^n,~f'(a)+I\in (R/I)^\times\end{align}を満たすとき，\begin{align}b\in a -\cfrac{f(a)}{f'(a)}+I^{2n}\end{align}となる $b$ を取ると $a+I^n=b+I^n$ であり，\begin{align}f(b)\in I^{2n},~f'(b)+I\in (R/I)^\times\end{align}が成り立つ．

証明． $a+I^n=b+I^n$ は $b$ の取り方より自明．

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2 g(x)$ となる $g(x)$ が存在する． $b\in a -\cfrac{f(a)}{f'(a)}+I^{2n}$ より \begin{gather}
f(a)+f'(a)(b-a)\in f'(a) I^{2n}\subset I^{2n},\\
b-a\in -\cfrac{f(a)}{f'(a)} +I^{2n} \subset I^n
\end{gather}であるので， $f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+(b-a)^2g(b)\in I^{2n}$ が成り立つ．

また， $b-a\in I^n \subset I$ より $f'(a)-f'(b) \in I$ であるので\begin{align}f'(b)+I=f'(a)+I\in (R/I)^\times\end{align}である．証明終

この定理はニュートン法の１ステップで， $f(x)$ の $R/I^n$ における単根 $a+I^n$ が $R/I^{2n}$ における根 $b+I^{2n}$ に持ち上がるということを言っている． $I^n$ が $I^{2n}$ に改善されており，ニュートン法は「2次収束」である．

系（ニュートン法）
$I\subset R$ を可換環とそのイデアル， $f(x)\in R[x$ ] とする． $a\in R$ が \begin{align}f(a)\in I,~f'(a)+I\in (R/I)^\times\end{align}を満たすとき， $x_n \in R$ を次で定める
\begin{align}
x_0&= a, \\
x_{n+1}&\in x_n -\cfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} + I^{2^{n+1}}.
\end{align}このとき， $x_n+I^{2^n} \in R/I^{2^n}$ は一意に定まっており，\begin{align}
f(x_n) \in I^{2^n},~x_{n+1}-x_n \in I^{2^n}
\end{align}が成り立つ．

特に $\displaystyle b=\lim_{n\to \infty}x_n$ が収束するとき， $f(b)=0,~b-a\in I$ を満たす．

系（ヘンゼルの補題）
$R, I, f(x),a$ は上の系と同様とする． $R$ が $I$ 進位相で完備のとき，\begin{align}f(b)=0,~b-a\in I\end{align}を満たす $b\in R$ が存在する．

2022-03-10

周期関数の1周期積分の区分求積法

数学数値解析複素解析留数定理

高橋-森理論など，複素解析を用いて数値積分誤差を行う話があります．今回は比較的わかりやすい例として，周期関数の1周期積分の区分求積法は区間の分割数を増やすにしたがって非常に早く（指数オーダーで）収束することを紹介します．

周期関数の1周期積分

$d>0, \varepsilon >0$ とし，領域 $D=\{z \mid -(d+\varepsilon)<\mathrm{Im}~z< d+\varepsilon\}\subset \mathbb{C}$ で正則な $f(z)$ が実数 $\alpha$ を周期に持つ，つまり\begin{align}
\forall z\in D, f(z+\alpha)=f(z) \end{align}が成り立っているとする．例えば，何らかの式 $\varphi$ に対する $f(z)=\varphi(e^{iz})$ は周期 $2\pi$ を持つ ( $\varphi$ が「よい」ものなら正則にもなる)．実軸上での周期1つ分の積分 \begin{align} I:=\int_0^\alpha f(x) dx \end{align}を $f(z)$ の1周期積分と呼ぶことにする．積分区間は $[0,\alpha]$ でなくても，長さ $\alpha$ の区間ならばどこを取っても同じである． $t=\alpha x$ と変数変換すると，\begin{align}
\displaystyle I=\int_0^\alpha f(x) dx=\alpha^{-1} \int_0^1 f(\alpha t) dt
\end{align}となり，周期1の周期関数 $f(\alpha z)$ の1周期積分の計算に帰着できる．表記を簡単にするために $f(\alpha z)$ を改めて $f(z)$ とおいて，周期が $\alpha=1$ であるとする．

このとき，1周期積分 $I=\displaystyle\int_0^1 f(x) dx$ は区分求積法\begin{gather}
I=\lim_{N\to \infty} I_N\\
I_N:=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f\left(\frac{k}{N}\right)
\end{gather}で求まりるが，この極限は指数オーダーで収束することを証明する．

証明

$g(z)=\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z)$ とおく． $g(z)$ も周期 $1$ を持つことに注意しておく．

$g(z)$ の特異点は高々一位の極 $z=\cfrac{k}{N}, k\in\mathbb{Z},$ であり，留数は\begin{align}
\mathrm{Res}\left(g,\cfrac{k}{N}\right)=\lim_{z\to \frac{k}{N}} g(z)\left(z-\frac{k}{N}\right)=\left.\cfrac{f(z) }{(e^{2\pi i Nz}-1)'}\right|_{z=\frac{k}{N}}=\frac{1}{2\pi i N} f\left(\cfrac{k}{N}\right)
\end{align}である ( $z=\frac{k}{N}$ が $f(z)$ の零点で， $g(z)$ の除去可能特異点となる場合は留数が $0$ )．

$h=1/N$ とし，下図のように経路 $C_1,C_2,C_3,C_4$ を取り，反時計回りの閉じた経路 $C=-C_1-C_3+C_2+C_4$ を考えると， $C$ で囲まれる領域に含まれる $g(z)$ の特異点は $z=\cfrac{k}{N},~0\le k\le N-1,$ なので，留数定理より \begin{align}
\int_C g(z) dz=2\pi i \sum_{k=0}^{N-1} \mathrm{Res}\left(g,\cfrac{k}{N}\right)=2\pi i \sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{2\pi i N} f\left(\cfrac{k}{N}\right)=I_N\end{align}が成り立つ．
f:id:egory_cat:20220310093642p:plain:w500
周期性 $g(z+1)=g(z)$ より $\displaystyle \int_{C_3} g(z) dz=\int_{C_4} g(z) dz$ が成り立つので，\begin{align}
I_N=\int_C g(z) dz&=-\int_{C_1} g(z) dz - \int_{C_3} g(z) dz + \int_{C_2} g(z) dz + \int_{C_4} g(z) dz\\
&=- \int_{C_1} g(z) dz + \int_{C_2} g(z) dz
\end{align}となる．また，下図のように反時計回りの閉路 $C'$ をとる．
f:id:egory_cat:20220310120335p:plain:w500
$f(z)$ は $D$ で正則なのでコーシーの積分定理より $\displaystyle \int_{C'}f(z)dz=0$ である．また，周期性 $f(z)=f(z+1)$ より，やはり虚軸に平行な部分の経路の積分がキャンセルして $0$ となり，\begin{align}
0=\int_{C'}f(z)dz =\int_{-h/2}^{1-h/2} f(x) dx -\int_{C_1} f(z)dz
\end{align} が成り立つ．よって\begin{align}
I=\int_0^1 f(x) dx =\int_{-h/2}^{1-h/2} f(x) dx =\int_{C_1} f(z) dz
\end{align}となる．以上より， $I$ と $I_N$ の差を \begin{align}
I-I_N&=\int_{C_1} f(z)+g(z) dz - \int_{C_2} g(z) dz\\
&= \int_{C_1} \left( 1+\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1}\right) f(z) dz - \int_{C_2}\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) dz\\
&=\int_{C_1} \cfrac{e^{2\pi i Nz}}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) dz - \int_{C_2}\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} f(z) dz
\end{align}と複素積分で表すことができる．

以下 $N$ を $N>\cfrac{\log 2}{2\pi d}$ を満たすように大きく取る．このとき $e^{-2\pi dN} <\cfrac{1}{2}$ が成り立つ．
$C_1:z(t)= id+t ~,-h/2\le t\le 1-h/2$ より， $C_1$ 上では \begin{align}
\left|\cfrac{e^{2\pi i N( id+t)}}{e^{2\pi i N (id+t)}-1} \right| \le \cfrac{|e^{2\pi i N( id+t)}|}{1-|e^{2\pi i N( id+t)}|} = \cfrac{e^{-2\pi dN}}{1-e^{-2\pi dN}}<2e^{-2\pi dN}
\end{align} $C_2:z(t)=-id+t, ~,-h/2\le t\le 1-h/2$ より， $C_2$ 上では \begin{align}
\left|\cfrac{1}{e^{2\pi i N (-id+t)}-1} \right| \le\cfrac{1}{|e^{2\pi i N(-id+t)}|-1}=\cfrac{1}{e^{2\pi d N}-1} = \cfrac{e^{-2\pi dN}}{1-e^{-2\pi dN}}<2e^{-2\pi dN}
\end{align}よって $\displaystyle M:=\max_{\mathrm{Im}(z)=\pm d} |f(z)|$ とおくと，\begin{align}
\left|I-I_N\right| &\le \int_{C_1} \left |\cfrac{e^{2\pi i Nz}}{e^{2\pi i Nz}-1}\right| |f(z)| |dz| + \int_{C_2} \left |\cfrac{1}{e^{2\pi i Nz}-1} \right| |f(z)| |dz| \\
&<2e^{-2\pi dN}\cdot M \cdot \mathrm{length}(C_1) + 2e^{-2\pi dN}\cdot M\cdot\mathrm{length}(C_2)\\&=4Me^{-2\pi dN}
\end{align}となり，極限 $I=\lim_{N\to \infty} I_N$ は指数オーダーで収束する．